Aplicación de la Derivada. (Máximos y Mínimos)

Entre los valores que puede tener una función f (x), puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos. 

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo. Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.

 

 

En las garficas se da un ejemplo de curvas sin máximos ni mínimos, lo que comúnmente se llama una función sin máximos ni mínimos.

 

Es importante recordar que la pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal. En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.

 

 

Metodo Para Calcular Máximos  Mínimos de una función.

 

Existen dos metodos para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una función.

 

 

La Primera: Criterio de la  primera derivada, utilizado para una función continua y su primera derivada tambien continua.

 

Proceso:

.Obtener la primera derivada

.Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

.El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función

.Se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo

.Sustituir en la función original f (x) el o los valores de la variable independiente (x) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de

las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

 

 

La Segunda: Criterio de la segunda derivada. 

 

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se

basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en

consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva

 

Proceso:

.Calcular la primera y segunda derivadas

. Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación

. Sustituir las raíces (el valor o valores de x) de la primera derivada en la segunda

derivada. Si el resultado es positivo hay mínimo. Si la segunda derivada resulta ser negativa hay un máximo.

. Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo

. Sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo

 

 

 

 

 

 

 

Cálculo de Leibniz y Newton

Gottfried Leibniz

 Fue uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como "El último genio universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como en la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia.

Aportaciones:

Estableció la resolución de problemas para los máximos y mínimos, así como de las tangentes.

Demostró las ventajas de utilizar el sistema binario en lugar del decimal en las computadoras mecánicas. 

Construyó una máquina aritmética que realizaba las cuatro operaciones básicas y calculaba raíces cuadradas. 

 

Issac Newton

Fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés.  Estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica  y el desarrollo del cálculo matemático.

 Aportaciones:

Descubrió los elementos del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. Años más tarde, cuando se publicaron sus hallazgos, hubo cierta duda acerca de si el matemático alemán Leibniz era considerado el creador del cálculo diferencial.

Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área encerrada bajo una curva.

 
Descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en el método de las fluxiones, Newton desarrolló el cálculo

 

 Calculo de Leibniz y Newton

Leibniz

La invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a Newton. De acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un acontecimiento fundamental, ese día empleó por primera vez el cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x). Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo “integral” ∫, que representa una S alargada, derivado del latín summa, y la letra "d" para referirse a los “diferenciales”. Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es probablemente su legado matemático más perdurable. 

Leibniz no publicó nada acerca de su Calculus hasta 1684.

Newton 

De 1667 a 1670 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del Trinity College. En 1669, su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra Lucasiana de matemática, puesto en el que Newton le sucedería hasta 1696. El mismo año envió a John Collins, por medio de Barrow, su Analysis per aequationes número terminorum infinitos. Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.

Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.

 

 Controversia del cálculo

Fue una discusión entre dos matemáticos del siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Leibniz  acerca de cual de ellos fue quién inventó el Cálculo. Esta disputa comenzó a surgir alrededor de 1699 y estalló con mucha fuerza en 1711.

Por un lado, Newton afirmaba que él había comenzado a trabajar en una forma de cálculo (que llamó "método de fluxiones y fluentes") en el año 1666, cuando tenía 23 años, pero que no lo publicó hasta muchos años después, como una anotación de menor importancia en una de sus publicaciones. Mientras, Leibniz sostenía que comenzó a trabajar en una variante del cálculo en el año 1674, y que recién en 1684 publicó su primer trabajo referido al tema.

La demora en la publicación de las ideas de Newton se debió a que no quedó completamente satisfecho con las justificaciones matemáticas, porque era consciente de la debilidad teórica de los infinitesimales.