Aplicación de la Derivada. (Máximos y Mínimos)

Entre los valores que puede tener una función f (x), puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos. 

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo. Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.

 

 

En las garficas se da un ejemplo de curvas sin máximos ni mínimos, lo que comúnmente se llama una función sin máximos ni mínimos.

 

Es importante recordar que la pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal. En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.

 

 

Metodo Para Calcular Máximos  Mínimos de una función.

 

Existen dos metodos para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una función.

 

 

La Primera: Criterio de la  primera derivada, utilizado para una función continua y su primera derivada tambien continua.

 

Proceso:

.Obtener la primera derivada

.Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

.El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función

.Se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo

.Sustituir en la función original f (x) el o los valores de la variable independiente (x) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de

las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

 

 

La Segunda: Criterio de la segunda derivada. 

 

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se

basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en

consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva

 

Proceso:

.Calcular la primera y segunda derivadas

. Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación

. Sustituir las raíces (el valor o valores de x) de la primera derivada en la segunda

derivada. Si el resultado es positivo hay mínimo. Si la segunda derivada resulta ser negativa hay un máximo.

. Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo

. Sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo